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Binet-Cauchy theorem

英 /biːˈneɪ ˈkɔːʃi ˈθɪərəm/美 /biˈneɪ ˈkoʊʃi ˈθiːərəm/

n. 名词短语

比内-柯西定理：矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积

双语例句

The Binet-Cauchy theorem states that for any two n×n matrices A and B, det(AB) = det(A)det(B).比内-柯西定理指出，对于任意两个 n×n 矩阵 A 和 B，有 det(AB) = det(A)det(B)。
Using the Binet-Cauchy theorem, we can prove that the determinant is multiplicative.利用比内-柯西定理，我们可以证明行列式具有乘性。
The Cauchy-Binet formula generalizes the Binet-Cauchy theorem to rectangular matrices.柯西-比内公式将比内-柯西定理推广到了长方形矩阵。
In the lecture, the professor introduced the Binet-Cauchy theorem as a fundamental result in linear algebra.在讲座中，教授将比内-柯西定理作为线性代数的一个基本结果进行了介绍。
A common application of the Binet-Cauchy theorem is in the computation of determinants of matrix products.比内-柯西定理的一个常见应用是计算矩阵乘积的行列式。

含义详解

Binet-Cauchy theorem 是线性代数中的一个基本定理，其核心陈述为：对于两个 n×n 方阵 A 和 B，有 det(AB) = det(A)det(B)。这就是该定理的本义，即矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。由此本义可引申出更一般的形式：对于 m×n 矩阵 A 和 n×m 矩阵 B（m ≤ n），det(AB) 等于 A 的所有 m 阶子式与 B 的对应 m 阶子式的乘积之和。这一推广形式有时称为 Cauchy-Binet 公式，是定理的引申义。两者之间的引申关系在于：当 m = n 时，推广形式退化为方阵乘积的行列式公式，即本义是引申义的特例。该定理在矩阵理论中具有基础地位，常用于证明行列式的乘性性质、计算子式以及推导其他代数结论。

词源解析

该术语由两位数学家的姓氏组合而成：Binet 和 Cauchy。Jacques Philippe Marie Binet（1786–1856）是法国数学家，Augustin-Louis Cauchy（1789–1857）也是法国数学家，两人均对行列式理论有重要贡献。theorem 源自希腊语 theorema（“观看、思辨所得之物”），经拉丁语进入英语，意为“定理”。构词逻辑上，这是一个以人名命名的数学术语，遵循“姓氏+姓氏+theorem”的命名模式，常见于数学和科学文献。记忆时可将其拆分为“Binet-Cauchy”和“theorem”两部分，前者提示定理的提出者，后者提示其数学属性。注意 Binet 和 Cauchy 均为法语姓氏，发音分别为 /biˈneɪ/ 和 /koʊˈʃi/（美式）或 /kɔːˈʃiː/（英式）。

适用语境

该术语几乎 exclusively 出现在学术语境中，尤其是线性代数、矩阵论、多重线性代数等数学领域的教科书、论文和讲义中。在学术写作中，它用于精确指称一个定理，语气正式、客观，不带感情色彩。在课堂教学中，教师可能会简称为“Binet-Cauchy 公式”或“Cauchy-Binet 公式”，但严格来说，定理与公式在用法上略有差异：定理通常指方阵情形，公式常指推广情形。在商务邮件、日常口语、新闻报道、法律文本、文学作品中，该术语极少出现，若出现则属于专业术语的借用，需读者具备相应数学背景。总体而言，其使用场景高度专业化，语域正式，属于数学专业词汇。

语法说明

作为名词短语，Binet-Cauchy theorem 为可数名词，复数形式为 Binet-Cauchy theorems。常见句型包括：主语+动词（如“The Binet-Cauchy theorem states that...”）、介词短语（如“by the Binet-Cauchy theorem”）、定语从句（如“the Binet-Cauchy theorem, which generalizes...”）。易错点包括：拼写时注意 Binet 和 Cauchy 的首字母大写，中间用连字符连接；发音时注意 Cauchy 的 /ʃ/ 音，不要误读为 /k/；在正式写作中，首次出现时宜写全称，后续可简称为“the theorem”。此外，该术语通常与定冠词 the 连用，如“the Binet-Cauchy theorem”，但也可用不定冠词 a 表示“一个 Binet-Cauchy 型的定理”。

近义比较

与 Binet-Cauchy theorem 意思相近的术语有“Cauchy-Binet formula”和“matrix determinant lemma”。Cauchy-Binet formula 通常指该定理的推广形式，即非方阵乘积的行列式展开式，而 Binet-Cauchy theorem 更常指方阵情形，但两者在文献中常混用，细微差别在于 formula 强调表达式，theorem 强调命题。matrix determinant lemma 则指 det(I + UV^T) = det(I + V^T U) 这一结论，与 Binet-Cauchy 定理不同，但都涉及行列式与矩阵乘积的关系。使用时，若强调方阵乘积的行列式性质，宜用 Binet-Cauchy theorem；若强调子式展开的求和公式，宜用 Cauchy-Binet formula。在一般线性代数讨论中，两者可互换，但严谨的数学写作会区分。

易错提醒

该术语属于高度专业词汇，语域正式，仅用于数学及相关领域的学术交流。褒贬色彩中性，无感情倾向。常见误用包括：将 Binet-Cauchy theorem 与 Cauchy-Binet formula 完全等同，忽略方阵与一般矩阵的区分；拼写错误，如将 Binet 误写为 Binett 或将 Cauchy 误写为 Cauchie；发音错误，如将 Cauchy 读作 /ˈkaʊtʃi/。此外，非数学语境中应避免使用该术语，以免造成理解障碍。在学术写作中，首次出现时应给出定义或引用参考文献，后续可简写。注意该定理的成立条件：矩阵的维度必须匹配，否则乘积无定义。

常见搭配

state the Binet-Cauchy theorem陈述比内-柯西定理
prove by the Binet-Cauchy theorem用比内-柯西定理证明
generalize the Binet-Cauchy theorem推广比内-柯西定理
apply the Binet-Cauchy theorem应用比内-柯西定理
the Binet-Cauchy theorem implies比内-柯西定理蕴含
a consequence of the Binet-Cauchy theorem比内-柯西定理的一个推论